Այս տեսությունը կրում է տեղեկատվական բնույթ և չի համարվում գովազդ.

Հավանականության տեսությունը և դրա հիմնական հասկացությունները

Արտյոմ Ասլանյան
Հավանականության տեսությունը մաթեմատիկայի բաժին է, որը ուսուցանում է պատահական երևույթների օրինաչափությունը` պատահական իրադարձություններ, պատահական մեծություններ, նրանց հատկությունները և նրանց վրա կատարվող գործընթացները:

Բովանդակություն

Երկար ժամանակ հավանականության տեսությունը չուներ հստակ սահմանում, որը մշակվել է միայն 1929 թվականին: Հավանականության տեսության առաջացումը, որպես գիտություն, վերագրում են միջին դարերին և հենց այդ ժամանակահատվածում կատարված ազարտային խաղերի (օրլյանկա, զառ, պտուտախաղ) մաթեմատիկական վերլուծության առաջին փորձերին: XVII դարի ֆրանսիացի մաթեմատիկոսներ Բլեզ Պասկալը և Պյեր Ֆերման, ուսումնասիրելով ազարտային խաղերում շահումների կանխորոշումը, բացահայտեցին առաջին հավանական օրինաչափությունները, որոնք առաջանում են զառերը նետելու ժամանակ:

Հավանականության տեսությունը առաջացել է որպես գիտություն այն համոզմունքից, որ մասսայական պատահական իրադարձությունների հիմքում ընկած են որոշ օրինաչափություններ: Հավանականության տեսությունը ուսումնասիրում է տվյալ օրինաչափությունները:

Հավանականության տեսությունը զբաղվում է իրադարձությունների ուսումնասիրմամբ, որոնց ելքը հաստատապես անհայտ է: Այն հնարավորություն է տալիս դատել մեկ իրադարձության ելքի հավանականության աստիճանը՝ մյուսի նկատմամբ:

Օրինակ՝ «գիր ու ղուշ» խաղալիս միանշանակ չես կարող ասել, թե որ նշանը կհայտնվի: Նշաններից յուրաքանչյուրի ի հայտ գալու հավանականությունը 50% է:

Փորձությունը այս պարագայում մի շարք պայմանների իրականացում է, այս դեպքում մետաղադրամի նետումը: Փորձությունը կարող է տեղի ունենալ անսահմանափակ թվով: Բացի դրանից, սահմանված պայմանները իրենց մեջ ներառում են պատահական գործոններ:

Փորձության արդյունքը համարվում է իրադարձություն: Իրադարձությունը լինում է.

1.Հուսալի (փորձության արդյունքում միշտ տեղի է ունենում)

2.Անհնարին (երբեք տեղի չի ունենում)

3.Պատահական (իրադարձության ընթացքում կարող է տեղի ունենալ կամ չունենալ )

Օրինակ՝ մետաղադրամի նետման դեպքում անհնարին իրադարձություն է, երբ այն կանգնում է կողի վրա, պատահական իրադարձություն է «գիր կամ ղուշ»-ի ընկնելը: Փորձության կոնկրետ արդյունքը կոչվում է տարրական իրադարձություն: Փորձության արդյունքում տեղի են ունենում միայն տարրական իրադարձություններ: Բոլոր հնարավոր, տարբեր, կոնկրետ ելքով փորձությունների հավաքածուն կոչվում է տարրական իրադարձությունների տարածություն:

Տեսության հիմնական հասկացությունները

Հավանականություն — Իրադարձության առաջացման հնարավորության աստիճանը: Երբ հիմքերը նրա համար են, որպեսզի ինչ-որ հնարավոր իրադարձություն տեղի ունենա գործնականում, գերակշռում են հակադիր հիմնավորումները, ուրեմն այդ իրադարձությունը կոչում են հավանական, իսկ հակառակ դեպքում՝ քիչ հավանական կամ անհավանական:

Պատահական մեծություն — Մեծություն է, որը փորձության արդյունքում կարող է ընդունել ցանկացած արժեք, ընդ որում՝ նախօրոք անհայտ: Օրինակ՝ հրշեջ կայանների ստացած ահազանգերը թիվը մեկ օրում, 10 կրակոցներից դիպուկների թիվը և այլն:

Պատահական մեծությունները կարելի է դասակարգել երկու կատեգորիաների.

1.Դիսկրետային պատահական մեծություն կոչվում է այն մեծությունը, որը փորձության արդյունքում կարող է ընդունել որոշ հավանական արժեքներ, որոնք վերաբերում են հաշվարկային բազմություններին (էլեմենտներ, որոնք կարող են համարակալվել): Այդ էլեմենտները կարող են լինել ինչպես դրական, այնպես էլ բացասական: Օրինակ՝ կրակոցների թիվը մինչև առաջին դիպուկ հարվածը համարվում է դիսկրետային պատահական մեծություն. այդ մեծությունը կարող է լինել նաև բացասական՝ չնայած հաշվարկային արժեքների թվաքանակին:

2.Անընդմեջ պատահական մեծություն կոչվում է այն մեծությունը, որը ընդունում է ցանկացած արժեքներ դրական և բացասական միջակայքերից: Պարզ է, որ անընդմեջ պատահական մեծության հնարավոր արժեքների թիվն անվերջ է:

Հավանականության տարածություն — հասկացություն, որը 20-րդ դարի 30-ական թվականներին գործածել է Ա. Ն. Կոլմագորովը՝ հավանականություն հասկացության ձևակերպման համար, սկիզբ դրեց հավանականության տեսության բուռն զարգացմանը, ինչպես խիստ մաթեմատիկական կարգապահություն:

Հավանականության տարածությունը եռյակ է  Формула 1 , երբեմն շրջափակված անկյունային չակերտներով Угловые скобки, որտեղ

 — ինքնակամ էլեմենտներ են, որոնք կոչվում են տարրական իրադարձություններ, արդյունքներ կամ միավորներ

 —  -ի սիգմա-հանրահաշիվ, որոնց անվանում են պատահական իրադարձություններ:

 — չափման հավանականություն կամ սիգմա-հավելման վերջնական չափում, որոնցից է սա՝  

Մուավր-Լապլասի թեորեմը — Հավանականության տեսության հիմնական թեորեմներից մեկը սահմանվել է Լապլասի կողմից՝ 1812 թվականին: Նա հաստատում էր, որ երկու հնարավոր ելքերով պատահական փորձերի շատ կրկնության դեպքում հաջողությունների թիվը մոտ կլինի հավասար բաշխմանը: Այն հնարավորություն կտա գտնել հավանականության մոտավոր նշանակությունը:

Եթե ամեն   արժեքի հայտնվելու հավանականությունը  իրադարձությունում հավասար լինի  ()-ին, իսկ -ը փորձությունների քանակն է, որը  -ն գործնականում իրականացնում է, ապա հավանականության արժեքը մոտ կլինի Լապլասի ինտեգրալի արժեքներին:

Հավանականության տեսության բաշխման ֆունկցիան բնորոշում է պատահական մեծության կամ պատահական վեկտորի բաշխումը. հավանականությունը, որ X պատահական մեծությունը կընդունի արժեք՝ փոքր կամ հավասար x-ին, որտեղ x-ը կամայական թիվ է: Բոլոր հայտնի պայմանների դեպքում հնարավոր է որոշել պատահական մեծությունը:

Մաթեմատիկական ակնկալիք — պատահական մեծության միջին արժեք (պատահական մեծության հավանական բաշխում, որը դիտարկվում է հավանականության տեսությունում): Անգլալեզու գրականությունում այն նշանակվում է  , իսկ ռուսականում՝  : Ըստ վիճակագրության՝ ավելի շատ օգտվում են այս նշանից՝  :

Ենթադրենք՝ տրված է հավանականության տարածությունը  և որոշված է նրա   պատահական մեծությունը: Կա հետևյալ ֆունկցիան.  : Այն ժամանակ, եթե գոյություն ունի Լեբեգի ինտեգրալը՝  -ից   տարածությունում, այն անվանվում է մաթեմատիկական ակնկալիք, կամ միջին արժեք և ունի հետևյալ նշանը՝ :

Պատահական մեծության դիսպերսիա — Տվյալ պատահական մեծության տարածության չափը: Ռուսական գրականության մեջ այն նշանակվում է  , իսկ արտասահմանյանում՝   : Վիճակագրությամբ ավելի շատ օգտագործվում է  -ն կամ -ն:  դիսպերսիայում քառակուսի արմատը անվանվում է միջքառակուսային շեղում, ստանդարտ շեղում կամ ստանդարտ տարածություն:

Ենթադրենք՝  -ը պատահական մեծություն է, որը վերցված է հավանականության տարածությունից: Այդ դեպքում՝

որտեղ  -ն նշանակում է մաթեմատիկական ակնկալիք:

Հավանականության տեսությունում երկու պատահական իրադարձություններ կոչվում են անկախ, եթե մեկի մասնակցությունը չի փոխում մյուսի մասնակցության հավանականությունը: Նմանապես, երկու պատահական իրադարձություններ կախյալ են, եթե մեկի արժեքը չի ազդում մյուսի հավանական արժեքին:

Պայմանական հավանականություն — մեկ իրադարձության հավանականությունն այն պայմանով, որ մյուս իրադարձությունն արդեն կայացել է:

Ենթադրենք՝   — ֆիքսված հավանական տարածություն:    երկու պատահական իրադարձություն, ընդ որում՝ : Այդ ժամանակ  իրադարձության պայմանական հավանականությունը  իրադարձության պայմանի դեպքում կլինի՝

.

Մեծ թվերի օրենք — Եթե կատարենք միևնույն փորձը մեծ թվով անգամ և հաշվենք, թե A պատահույթը կատարված փորձերից քանիսում է հանդես եկել (այդպիսի փորձերը անվանենք հաջող փորձեր), ապա հավանականության գաղափարը ինտուիտիվ կարելի է հասկանալ որպես հաջող փորձերի ու կատարված փորձերի քանակների հարաբերություն։ Սկզբնապես Մեծ թվերի օրենքը եղել է հավանականության վերոնշյալ ընկալման մաթեմատիկական ձևակերպումը, որն առաջին անգամ ապացուցել է Յակոբ Բեռնուլին։ Հետագայում Մեծ թվերի օրենքին վերաբերվող տարբեր թեորեմներ են ապացուցել Սիմեոն Պուասոնը (ով շրջանառության մեջ է դրել Մ. թ. օ. տերմինը), Պաֆնուտի Չեբիշևը և այլք։ Այդ թեորեմներից մեկը կարելի է ձևակերպել այսպես.

Դիցուք {xi_i}_{i=1}^{infty}-ը միևնույն (Ω,scriptstyle mathcal{F},P) հավանականային տարածության վրա որոշված անկախ և միատեսակ բաշխված պատահական մեծությունների հաջորդականություն է։ Ենթադրենք xi_1-ն ունի վերջավոր մաթեմատիկական սպասում՝ mathbb{E}xi_1 = mu, S_n-ով նշանակենք հետևյալ գումարը.

S_n = frac{1}{n} sumlimits_{i=1}^n xi_i,; n in mathbb{N}.

Ըստ Մեծ թվերի օրենքի՝ ցանկացած varepsilon դրական թվի համար տեղի ունի հետևյալը.

 lim_{ntoinfty}P!left(,|S_n-mu| < varepsilon,right) = 1:

Մեծ թվերի օրենքը կարելի է մեկնաբանել այսպես. անկախ և միատեսակ բաշխված պատահական մեծությունների թվաբանական միջինը, երբ փորձերի քանակը բավականաչափ մեծ թիվ է, ցանկացած չափով քիչ է տարբերվում mu մաթեմատիկական սպասումից, մեկին ինչքան ասես մոտ հավանականությամբ։

Կենտրոնական սահմանային թեորեմ — Կենտրոնական սահմանային թեորեմը մաթեմատիկայի ամենագեղեցիկ արդյունքներից է, այն բացատրում է, թե ինչու են բնության ամենատարբեր երևույթների ուսումնասիրության ժամանակ առաջանում նորմալ բաշխում ունեցող պատահական մեծություններ։

Դիցուք {xi_i}_{i=1}^{infty}-ը միևնույն (Ω,scriptstyle mathcal{F},P) հավանականային տարածության վրա որոշված անկախ և միատեսակ բաշխված պատահական մեծությունների հաջորդականություն է։ Ենթադրենք xi_1-ն ունի վերջավոր մաթեմատիկական սպասում և դիսպերսիա՝ mathbb{E}xi_1 = mu, operatorname{Var}(xi_1) = sigma^2, իսկ S_n = frac{1}{n} sumlimits_{i=1}^n xi_i-ը դիտարկվող հաջորդականության առաջին n անդամների թվաբանական միջինն է։ Ըստ Կենտրոնական սահմանային թեորեմի՝

frac{S_n - mu n}{sigma sqrt n} to N(0,1) ըստ բաշխման, երբ n to infty,

որտեղ N(0,1)-ը 0 մաթեմատիկական սպասմամբ և 1 դիսպերսիայով նորմալ բաշխումն է։

Վերոնշյալ արդյունքը հայտնի է դասական Կենտրոնական սահմանային թեորեմ անունով։ Գոյություն ունեն բազմաթիվ կենտրոնական սահմանային թեորեմներ, որոնցից ամենահայտնիներն են Լյապունովի ու Լինդեբերգի թեորեմները։

Սխա՞լ գտաքՀաղորդեք դրա մասին
Հարցե՞ր են մնացել: Դիմեք մեր գիտակներին:
Մեկնաբանություններ