Հավանականության տեսությունը և դրա հիմնական հասկացությունները

Արտյոմ Ասլանյան

Հավանականության տեսությունը մաթեմատիկայի բաժին է, որը ուսուցանում է պատահական երևույթների օրինաչափությունը` պատահական իրադարձություններ, պատահական մեծություններ, նրանց հատկությունները և նրանց վրա կատարվող գործընթացները:

Բովանդակություն

Երկար ժամանակ հավանականության տեսությունը չուներ հստակ սահմանում, որը մշակվել է միայն 1929 թվականին: Հավանականության տեսության առաջացումը, որպես գիտություն, վերագրում են միջին դարերին և հենց այդ ժամանակահատվածում կատարված ազարտային խաղերի (օրլյանկա, զառ, պտուտախաղ) մաթեմատիկական վերլուծության առաջին փորձերին: XVII դարի ֆրանսիացի մաթեմատիկոսներ Բլեզ Պասկալը և Պյեր Ֆերման, ուսումնասիրելով ազարտային խաղերում շահումների կանխորոշումը, բացահայտեցին առաջին հավանական օրինաչափությունները, որոնք առաջանում են զառերը նետելու ժամանակ:

Հավանականության տեսությունը առաջացել է որպես գիտություն այն համոզմունքից, որ մասսայական պատահական իրադարձությունների հիմքում ընկած են որոշ օրինաչափություններ: Հավանականության տեսությունը ուսումնասիրում է տվյալ օրինաչափությունները:

Հավանականության տեսությունը զբաղվում է իրադարձությունների ուսումնասիրմամբ, որոնց ելքը հաստատապես անհայտ է: Այն հնարավորություն է տալիս դատել մեկ իրադարձության ելքի հավանականության աստիճանը՝ մյուսի նկատմամբ:

Օրինակ՝ «գիր ու ղուշ» խաղալիս միանշանակ չես կարող ասել, թե որ նշանը կհայտնվի: Նշաններից յուրաքանչյուրի ի հայտ գալու հավանականությունը 50% է:

Փորձությունը այս պարագայում մի շարք պայմանների իրականացում է, այս դեպքում մետաղադրամի նետումը: Փորձությունը կարող է տեղի ունենալ անսահմանափակ թվով: Բացի դրանից, սահմանված պայմանները իրենց մեջ ներառում են պատահական գործոններ:

Փորձության արդյունքը համարվում է իրադարձություն: Իրադարձությունը լինում է.

1.Հուսալի (փորձության արդյունքում միշտ տեղի է ունենում)

2.Անհնարին (երբեք տեղի չի ունենում)

3.Պատահական (իրադարձության ընթացքում կարող է տեղի ունենալ կամ չունենալ )

Օրինակ՝ մետաղադրամի նետման դեպքում անհնարին իրադարձություն է, երբ այն կանգնում է կողի վրա, պատահական իրադարձություն է «գիր կամ ղուշ»-ի ընկնելը: Փորձության կոնկրետ արդյունքը կոչվում է տարրական իրադարձություն: Փորձության արդյունքում տեղի են ունենում միայն տարրական իրադարձություններ: Բոլոր հնարավոր, տարբեր, կոնկրետ ելքով փորձությունների հավաքածուն կոչվում է տարրական իրադարձությունների տարածություն:

Տեսության հիմնական հասկացությունները

Հավանականություն — Իրադարձության առաջացման հնարավորության աստիճանը: Երբ հիմքերը նրա համար են, որպեսզի ինչ-որ հնարավոր իրադարձություն տեղի ունենա գործնականում, գերակշռում են հակադիր հիմնավորումները, ուրեմն այդ իրադարձությունը կոչում են հավանական, իսկ հակառակ դեպքում՝ քիչ հավանական կամ անհավանական:

Պատահական մեծություն — Մեծություն է, որը փորձության արդյունքում կարող է ընդունել ցանկացած արժեք, ընդ որում՝ նախօրոք անհայտ: Օրինակ՝ հրշեջ կայանների ստացած ահազանգերը թիվը մեկ օրում, 10 կրակոցներից դիպուկների թիվը և այլն:

Պատահական մեծությունները կարելի է դասակարգել երկու կատեգորիաների.

1.Դիսկրետային պատահական մեծություն կոչվում է այն մեծությունը, որը փորձության արդյունքում կարող է ընդունել որոշ հավանական արժեքներ, որոնք վերաբերում են հաշվարկային բազմություններին (էլեմենտներ, որոնք կարող են համարակալվել): Այդ էլեմենտները կարող են լինել ինչպես դրական, այնպես էլ բացասական: Օրինակ՝ կրակոցների թիվը մինչև առաջին դիպուկ հարվածը համարվում է դիսկրետային պատահական մեծություն. այդ մեծությունը կարող է լինել նաև բացասական՝ չնայած հաշվարկային արժեքների թվաքանակին:

2.Անընդմեջ պատահական մեծություն կոչվում է այն մեծությունը, որը ընդունում է ցանկացած արժեքներ դրական և բացասական միջակայքերից: Պարզ է, որ անընդմեջ պատահական մեծության հնարավոր արժեքների թիվն անվերջ է:

Հավանականության տարածություն — հասկացություն, որը 20-րդ դարի 30-ական թվականներին գործածել է Ա. Ն. Կոլմագորովը՝ հավանականություն հասկացության ձևակերպման համար, սկիզբ դրեց հավանականության տեսության բուռն զարգացմանը, ինչպես խիստ մաթեմատիկական կարգապահություն:

Հավանականության տարածությունը եռյակ է , երբեմն շրջափակված անկյունային չակերտներով , որտեղ

• — ինքնակամ էլեմենտներ են, որոնք կոչվում են տարրական իրադարձություններ, արդյունքներ կամ միավորներ

• — -ի սիգմա-հանրահաշիվ, որոնց անվանում են պատահական իրադարձություններ:

• — չափման հավանականություն կամ սիգմա-հավելման վերջնական չափում, որոնցից է սա՝

Մուավր-Լապլասի թեորեմը — Հավանականության տեսության հիմնական թեորեմներից մեկը սահմանվել է Լապլասի կողմից՝ 1812 թվականին: Նա հաստատում էր, որ երկու հնարավոր ելքերով պատահական փորձերի շատ կրկնության դեպքում հաջողությունների թիվը մոտ կլինի հավասար բաշխմանը: Այն հնարավորություն կտա գտնել հավանականության մոտավոր նշանակությունը:

Եթե ամեն արժեքի հայտնվելու հավանականությունը իրադարձությունում հավասար լինի ()-ին, իսկ -ը փորձությունների քանակն է, որը -ն գործնականում իրականացնում է, ապա հավանականության արժեքը մոտ կլինի Լապլասի ինտեգրալի արժեքներին:

Հավանականության տեսության բաշխման ֆունկցիան բնորոշում է պատահական մեծության կամ պատահական վեկտորի բաշխումը. հավանականությունը, որ X պատահական մեծությունը կընդունի արժեք՝ փոքր կամ հավասար x-ին, որտեղ x-ը կամայական թիվ է: Բոլոր հայտնի պայմանների դեպքում հնարավոր է որոշել պատահական մեծությունը:

Մաթեմատիկական ակնկալիք — պատահական մեծության միջին արժեք (պատահական մեծության հավանական բաշխում, որը դիտարկվում է հավանականության տեսությունում): Անգլալեզու գրականությունում այն նշանակվում է , իսկ ռուսականում՝ : Ըստ վիճակագրության՝ ավելի շատ օգտվում են այս նշանից՝ :

Ենթադրենք՝ տրված է հավանականության տարածությունը և որոշված է նրա պատահական մեծությունը: Կա հետևյալ ֆունկցիան. : Այն ժամանակ, եթե գոյություն ունի Լեբեգի ինտեգրալը՝ -ից տարածությունում, այն անվանվում է մաթեմատիկական ակնկալիք, կամ միջին արժեք և ունի հետևյալ նշանը՝ :

Պատահական մեծության դիսպերսիա — Տվյալ պատահական մեծության տարածության չափը: Ռուսական գրականության մեջ այն նշանակվում է , իսկ արտասահմանյանում՝ : Վիճակագրությամբ ավելի շատ օգտագործվում է -ն կամ -ն: դիսպերսիայում քառակուսի արմատը անվանվում է միջքառակուսային շեղում, ստանդարտ շեղում կամ ստանդարտ տարածություն:

Ենթադրենք՝ -ը պատահական մեծություն է, որը վերցված է հավանականության տարածությունից: Այդ դեպքում՝

որտեղ -ն նշանակում է մաթեմատիկական ակնկալիք:

Հավանականության տեսությունում երկու պատահական իրադարձություններ կոչվում են անկախ, եթե մեկի մասնակցությունը չի փոխում մյուսի մասնակցության հավանականությունը: Նմանապես, երկու պատահական իրադարձություններ կախյալ են, եթե մեկի արժեքը չի ազդում մյուսի հավանական արժեքին:

Պայմանական հավանականություն — մեկ իրադարձության հավանականությունն այն պայմանով, որ մյուս իրադարձությունն արդեն կայացել է:

Ենթադրենք՝ — ֆիքսված հավանական տարածություն: երկու պատահական իրադարձություն, ընդ որում՝ : Այդ ժամանակ իրադարձության պայմանական հավանականությունը իրադարձության պայմանի դեպքում կլինի՝

Մեծ թվերի օրենք — Եթե կատարենք միևնույն փորձը մեծ թվով անգամ և հաշվենք, թե A պատահույթը կատարված փորձերից քանիսում է հանդես եկել (այդպիսի փորձերը անվանենք հաջող փորձեր), ապա հավանականության գաղափարը ինտուիտիվ կարելի է հասկանալ որպես հաջող փորձերի ու կատարված փորձերի քանակների հարաբերություն։ Սկզբնապես Մեծ թվերի օրենքը եղել է հավանականության վերոնշյալ ընկալման մաթեմատիկական ձևակերպումը, որն առաջին անգամ ապացուցել է Յակոբ Բեռնուլին։ Հետագայում Մեծ թվերի օրենքին վերաբերվող տարբեր թեորեմներ են ապացուցել Սիմեոն Պուասոնը (ով շրջանառության մեջ է դրել Մ. թ. օ. տերմինը), Պաֆնուտի Չեբիշևը և այլք։ Այդ թեորեմներից մեկը կարելի է ձևակերպել այսպես.

$S_n = frac{1}{n} sumlimits_{i=1}^n xi_i,; n in mathbb{N}$ .

Ըստ Մեծ թվերի օրենքի՝ ցանկացած $varepsilon$ դրական թվի համար տեղի ունի հետևյալը.

lim_{ntoinfty}P!left(,|S_n-mu| < varepsilon,right) = 1:

Մեծ թվերի օրենքը կարելի է մեկնաբանել այսպես. անկախ և միատեսակ բաշխված պատահական մեծությունների թվաբանական միջինը, երբ փորձերի քանակը բավականաչափ մեծ թիվ է, ցանկացած չափով քիչ է տարբերվում $mu$ մաթեմատիկական սպասումից, մեկին ինչքան ասես մոտ հավանականությամբ։

Կենտրոնական սահմանային թեորեմ — Կենտրոնական սահմանային թեորեմը մաթեմատիկայի ամենագեղեցիկ արդյունքներից է, այն բացատրում է, թե ինչու են բնության ամենատարբեր երևույթների ուսումնասիրության ժամանակ առաջանում նորմալ բաշխում ունեցող պատահական մեծություններ։

Դիցուք ${xi_i}_{i=1}^{infty}$ -ը միևնույն (Ω, $scriptstyle mathcal{F}$ ,P) հավանականային տարածության վրա որոշված անկախ և միատեսակ բաշխված պատահական մեծությունների հաջորդականություն է։ Ենթադրենք $xi_1$ -ն ունի վերջավոր մաթեմատիկական սպասում և դիսպերսիա՝ $mathbb{E}xi_1 = mu$ , $operatorname{Var}(xi_1) = sigma^2$ , իսկ $S_n = frac{1}{n} sumlimits_{i=1}^n xi_i$ -ը դիտարկվող հաջորդականության առաջին n անդամների թվաբանական միջինն է։ Ըստ Կենտրոնական սահմանային թեորեմի՝

frac{S_n - mu n}{sigma sqrt n} to N(0,1)

ըստ բաշխման, երբ

n to infty

որտեղ $N(0,1)$ -ը 0 մաթեմատիկական սպասմամբ և 1 դիսպերսիայով նորմալ բաշխումն է։

Վերոնշյալ արդյունքը հայտնի է դասական Կենտրոնական սահմանային թեորեմ անունով։ Գոյություն ունեն բազմաթիվ կենտրոնական սահմանային թեորեմներ, որոնցից ամենահայտնիներն են Լյապունովի ու Լինդեբերգի թեորեմները։